Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико.
Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:
Пусть дано дифференциальное уравнение y′=f(x,y) и начальное условие y(x0) = у0. Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.
Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x0,y0) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(x). Точка (x0,y0) задаёт начальные условия.
Методы Рунге-Кутты – важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (MATHCAD, MAPLE, MATLAB) стандартная схема четвёртого порядка.
Рассмотрим задачу Коши: y′=f(x,y), y(x0)=y0. Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:
(1)
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
1. k1=f(xn, yn),
2. k2=f(xn+h/2, yn+(h/2)·k1),
3. k3=f(xn+h/2, yn+(h/2)·k2),
4. k4=f(xn+h, yn+h·k3), где h – величина шага сетки по x.
Пример. Вычислить методом Рунге-Кутты интеграл дифференциального уравнения y=x2-3y2 при начальном условии y(0)=1 на отрезке x=[0, 0.5] с шагом интегрирования h=0.1.
Решение. Вычислим y1. Для этого сначала последовательно вычисляем kj:
(2)
(3)
(4)
(5)
Теперь получим
(6)
и, следовательно,
(7)
Аналогично вычисляются последующие приближения (табл.1).
Таблица 1. Приближения Рунге-Кутты четвёртого порядка
j |
x(j) |
y(j) |
0 |
0 |
1 |
1 |
0.1 |
0.76955 |
2 |
0.2 |
0.62723 |
3 |
0.3 |
0.5334 |
4 |
0.4 |
0.47067 |
5 |
0.5 |
0.4305 |
Так же этот алгоритм был реализован в MATLAB. Код программы (Рис. 1), полученные результаты (Рис. 2) и построенный график (Рис. 3) приведены ниже.
Рис. 1. Код программы в MATLAB
Рис. 2. Результаты методом Рунге-Кутты четвёртого порядка
Рис. 3. График Рунге-Кутты четвёртого порядка
Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O(h4) (ошибка на каждом шаге порядка O(h5)).
В современных программах, реализующих методы Рунге-Кутты, обязательно используется некоторый алгоритм автоматического изменения шага интегрирования.
На участках плавного изменения решения счет можно вести с достаточно крупным шагом. На участках, где происходят резкие изменения поведения решения, необходимо выбирать более мелкий шаг интегрирования. Обычно начальное значение шага задает пользователь. Далее шаг интегрирования меняется в соответствии с величиной, получаемой в ходе вычислений оценки погрешности.
Изменение шага для методов Рунге-Кутты сложности не представляет. Оценить погрешность достаточно сложно, так как простые способы оценки погрешности отсутствуют.
Методы Рунге-Кутты легко программируются, обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости, для начала вычислений не требуется дополнительных расчётов, позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.
Список литературы:Абакумов, М.В. Лекции по численным методам математической физики: Учебное пособие / М.В. Абакумов, А.В. Гулин. – М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. 158 c.
Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.:Дрофа, 2005.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 632 с.
Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учеб. пособие. -2-е изд. стер. – М.: Высш. шк., 2006.
Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – Изд. 2-е,испр., доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.