Лабораторная работа
Цель работы: ознакомиться с возможностями пакета в области работы с векторами и матрицами, научиться решать системы линейных алгебраических уравнений в матричной форме несколькими способами.
Пояснение к работе.
Векторные и матричные операции.
Массивы - важный тип множественных данных с доступом к любому его элементу. С помощью пакета Mathcad можно работать с одномерными массивами - векторами и двумерными - матрицами. Каждый элемент массива представлен индексированной переменной с одним целочисленным индексом для вектора или двумя - для матрицы. Нижняя граница индексации определяется системной переменной ORIGIN, котрая может принимать значения 0 или 1( по умолчанию 0).
Векторы и матрицы можно задавать путём ввода их элементов - индексированных переменных, или воспользоваться командой политры Матрицы,
что вызывает появления диалогового окна, в котором надо указать размер матрицы ( количество её строк и столбцов)
Операции с векторами и матрицами будем производить, пользуясь табл. 1
Таблица 1.
№ |
Операция |
Обоз- начение |
Клавиши |
Описание |
1 |
Умножение матрицы на скаляр |
A∙z |
* |
_ |
2 |
Скалярное произведение |
U∙V |
* |
Векторы должны иметь одинаковое количество элементов. |
3 |
Матричное умножение |
A∙B |
* |
Число столбцов в А должно равняться числу строк в В. |
4 |
Умножение матрицы на вектор |
A∙V |
* |
Число столбцов в А должно равняться числу элементов в V. |
5 |
Деление матрицы на скаляр |
A/x |
/ |
|
6 |
Сложение векторов и матриц |
A+B |
+ |
A и B должно иметь равное количество строк и столбцов. |
7 |
Скалярная сумма |
A+z |
+ |
Добавляем каждому элементу матрицы А число z. |
8 |
Векторное и матричное вычитание |
A∙B |
- |
Аналогично п.6. |
9 |
Скалярное вычитание |
A∙z |
- |
Аналогично п.7. |
10 |
Степени матриц, обращение матриц |
Mn |
^ |
Где M- квадратная матрица, n- целое число. Если n=-1, то результат обратная матрица. |
11 |
Модуль вектора |
|V| |
| |
|V|=V12+V22+V32 |
12 |
Детерминант (определитель) |
|M| |
| |
М- квадратная матрица, результат число. |
13 |
Транспонирование |
AT |
[Ctrl]+1 |
|
14 |
Векторное произведение |
U∙V |
[Ctrl]+8 |
U и V содержат 3 компоненты. |
15 |
Комплексное сопряжение |
A |
" |
Меняет знак мнимой части каждого элемента матрицы А. |
16 |
Суммирование элементов |
∑V |
[Ctrl]+4 |
|
17 |
Верхний индекс |
A |
[Ctrl]+6 |
Извлекает n-ный столбец матрицы А. |
18 |
Нижний индекс |
Vn |
[ |
Извлекает n-ный элемент вектора . |
19 |
Нижний индекс матрицы |
An,m |
[ |
Извлекает an,mматрицы А. |
20 |
Векторризация |
[Ctrl]+[-] |
Векторные и матричные функции.
Встроенные векторные и матричные функции облегчают решение задач линейной алгебры и других сфер приложения векторов и матриц.
Приведём основные векторные функции, входящие в пакет Mathcad (табл.2)
Таблица 2.
№ |
Функция |
Описание |
1 |
rows(A) |
Определяет число строк в массиве А. |
2 |
cols(A) |
Определяет число столбцов в матрице. |
3 |
length(V) |
Определяет число элементов в векторе V. |
4 |
last(V) |
Определяет индекс последнего элемента в векторе V. |
5 |
max(A) |
Находит максимальный элемент массива. Если А состоит из комплексных чисел, то выдаёт максимум вещественной части +i - максимум мнимой части. |
6 |
min(A) |
Аналогично п.5. |
7 |
Re(A) |
Создаёт массив, элементы которого - вещественные части элементов массива А. |
8 |
Im(A) |
Аналогично п.7. |
9 |
Identify(n) |
Создаёт единичную матрицу размера n на n (n×n) |
10 |
diag(V) |
Создаёт матрицу, содержащую на диагонали элементы вектора V. |
11 |
gening(A) |
Левая обратная к А матрица такая, что L∙A=I. Матрица A размерности m×n, где m ≥n |
12 |
tr(M) |
Сумма диагональных элементов квадратной матрицы, называемая следом. |
13 |
rank(A) |
Ранг вещественной матрицы А, т.е. максимальное число линейно- независимых строк(столбцов). |
14 |
augment(A,B) |
Образует массив, сформированный расположением матриц А и В бок о бок. Матрицы должны иметь равное число строк. |
15 |
stack(A,B) |
Образует массив, сформированный расположением матриц А над В. А и В должны иметь одинаковое число столбцов. |
16 |
submatrix(A,ir,jr,ic,jc) |
Субматрица, состоящая из всех элементов А в строках с ir по jr , в столбцах с ic по jc . |
17 |
eigenvals(M) |
Находит вектор, содержащий собственное значение матрицы М, т.е. Мх=λМ. где λ- собственное значение, х- соответствующий ему собственный вектор. |
18 |
eigenvec(M,z) |
Находит матрицу, содержащую нормированный собственный вектор, соответствующий собственному значению z. |
19 |
lsolve(M,V) |
Находит вектор значений х, такой, что М∙х = V, где М - невырожденная квадратная матрица (определитель ≠0) |
Решение систем линейных уравнений.
Если заданы матрица А и вектор В для системы линейных уравнений в матричной форме А*Х=В, то вектор решения можно получить из очевидного выражения Х=А-1*В (обратная матрица).
Для решения этой задачи есть и встроенная функция lsolve(A,B), которая возвращает вектор Х для системы линейных уравнений А*Х=В: