IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

 Аннотация

Настоящий реферат посвящен динамике тел переменных масс. В реферате описан вывод обобщенного уравнения Мещерского, приведены его частные случаи. Рассмотренынекоторыеклассическиезадачидинамикиточкипеременноймассы.

Abstract

This abstract is dedicated to the dynamics of bodies with variable mass. The abstract describes the derivation of the Meshchersky generalized equation, also its particular cases are given. Some classical problems of dynamics of a point of variable mass are considered.

Введение

В некоторых задачах механики предпочтительнее рассматривать не движение системы материальных точек, а движение некоторого объекта, ограниченного замкнутой поверхностью, через которую движется поток материальных частиц. К такому типу относятся задачи, связанные с движением жидкостей, расчетом двигательных установок различных аппаратов (в частности, ракетных двигателей) а также задачи, связанные с движением ракет, при котором двигатель выбрасывает поток газа. Нас, естественно, интересует движение корпуса ракеты, а не центра масс

системы «ракета-сгоревший газ». Ракета является ярким примером движущегося тела переменной массы.

Примеров движущихся тел, масса которых заметно изменяется в процессе движения, множество как в различных областях производства (вращающееся веретено, на которое навивается нить; рулон газетной бумаги, разматывающийся на валу печатной машины и т. п.), так и в природе (изменение массы ядра кометы,возрастание массы Земли вследствие падения на ее поверхность метеоритов, таяние плавающей льдины и др.).

Следует отметить, что в теоретической механике переменность массы понимается не в смысле ее возникновения или исчезновения, а в смысле присоединения или отделения либо совместного ‚присоединения и отделения частиц. Предметом дальнейшего рассмотрения будет система частиц с постояннымимассами, состав которой изменяется: некоторое количество частиц покидает рассматриваемую систему, новые частицы к нейприсоединяются.

Хотя изменение массы мы наблюдаем лишь в случае тел конечных размеров, тем не менее, в динамике тел с переменноймассой (переменным составом), введение понятия материальной

точки переменной массыупрощает и облегчает изложение материала. Точку можно определить как множество частиц (спостоянной массой), которые в момент времени 1 находятся внутри области, ограниченной некоторой контрольной поверхностью,причем предполагается, что эта область движется поступательно(вместе с некоторой своей геометрической точкой). Переходом кпределу при стремлении к нулю объема области, ограниченной контрольной поверхностью, придем к понятию, аналогичномупонятию материальной точки постоянной массы. Таким образом,точка переменной массы - это геометрическая точка с некоторой конечной массой,изменяющейся в процессе движения.

Основное уравнение движения точки переменной массы было получено И. В. Мещерским в 1897 г. в его магистерской диссертации. В 1898 г. результаты диссертации были им обобщены на случай одновременного присоединения и отделения частиц. Позже эта теория получила окончательное выражение в его работе "Уравнение движения точки переменной массы в общем случае", которая была опубликована в первом номере журнала "Известия Санкт-Петербургского политехнического института" в 1904 году. Эти две работы составили "теоретический фундамент современной ракетодинамики.[2].

[7]. К середине ХХ века, когда реактивный принцип движения получил большое практическое значение, научные интересы А. А. Космодемьянского сосредоточились на специальном разделе классической механики - механике точки переменной массы. Он был одним из тех, кто создавал и разрабатывал основы нового для того времени раздела механики, востребованного практикой - теории движения ракет. Он назвал этот раздел ракетодинамикой.

С конца 1930-х годов Космодемьянский серьезно занимается работами И. В. Мещерского и К. Э. Циолковского. В 1949 г. он издает книгу Мещерского «Работы по механике тел переменной массы» со своим предисловием и вступительной статьей.

В 1946 г. в Докладах АН СССР опубликована работа Космодемьянского «Экстремальные задачи динамики точки переменной массы». С применением методов вариационного исчисления решается задача определения оптимального закона изменения массы ракеты при вертикальном движении ее центра масс в однородном поле тяготения и однородной атмосфере. Было получено конечное выражение для отношения текущего значения массы к начальной в зависимости от скорости движения и закона сопротивления атмосферы.

В 1947 г. Космодемьянский публикует работу, посвященную динамике системы точек переменной массы («Механика тел переменной массы», ВВИА им. Н. Е. Жуковского), в которой основное уравнение Мещерского суммировалось по всем точкам системы. Работа посвящена построению общей теории движения тел переменной массы, в ней сформулированы основные теоремы ракетодинамики: теорема об изменении количества движения, о движении центра масс, об изменении кинетического момента и кинетической энергии системы.

Расширенный и уточненный вариант этой работы выходит в 1951 г. («Общие теоремы динамики тела переменной массы». Ученые записки МГУ. Механика. Вып. 152). В этой работе были охвачены случаи, когда происходит и внутреннее относительное движение присоединяющихся или отделяющихся масс; получены уравнение движения тел переменной массы в обобщенных координатах и в канонической форме.

Следует отметить, что в этих работах приведены основные результаты закрытых работ, выполнявшихся в интересах создания и развития ракетной техники, о чем свидетельствует перечень наград: в 1949 г. - Правительственная премия за теоретические работы по ракетодинамике; в 1953 г. - Государственная премия второй степени за выполнение специального задания Правительства; в 1956 и 1957 гг. ордена Ленина; в 1964 г. орден Трудового Красного Знамени.

Основной вклад А. А. Космодемьянского в науку - создание теории движения тел переменной массы, формулирование основных теорем ракетодинамики, вывод уравнений движения в обобщенных координатах и в канонической форме. Кроме того, были получены решения ряда частных задач.

Обобщенноеуравнение Мещерского является основным в разделе «Динамикател переменной массы», составляющим теоретическую базу ракетодинамики.

Принципиальным допущением, позволяющим получитьдифференциальное уравнение движения точки переменной массы, является гипотезаблизкодействия (контактного взаимодействия), согласно которойчастицы изменяют количество движения точки только в моментих непосредственного контакта. Как только отделяющаяся частица получает относительную скорость по отношению к точке, еевоздействие на точку прекращается. Присоединяющаяся частицадо момента контакта с точкой не взаимодействует. Ввиду того, чтоскорости присоединяющихся или отделяющихся частиц в моментконтакта, вообще говоря, отличаются от скорости точки, она будет испытывать удары со стороны этих частиц. Для случая непрерывного изменения массы точки воздействие таких ударов нанее аналогично действию некоторых дополнительных сил, называемых реактивными.

Эта теория вызывает интерес не только у механиков, но и у математиков. К примеру, в работе А.В.Гохмана [5] рассматривается движение точки с переменной массой m(t) без воздействия внешних сил. Он доказывает, что всякому такому движению соответствует геодезическая в некотором четырехмерном пространстве, представляющем собой специальное реономное пространство с так называемой s-финслеровой связностью.[5]

Обобщенное уравнение Мещерского[1,3,6]

Рассмотрим случаи, для которых процесс изменения массы происходит непрерывно. При скачкообразном изменении массы соответствующие задачи решаются путем применения общих теорем динамики тел постоянной массы, а также методами теории удара.

Воспользуемся теоремой об изменении количества движения механической системы. Для этого рассмотрим механическую систему, состоящую из частиц постоянной массы, которые в момент времени t составляютматериальную точку М,с массой точки М, скоростью 12v´> , и за время ∆t присоединятся к материальной точке М,с массами 12Вµ1(1)´> ,..., 12ВµN1(1)´>, и скоростями в момент времени t- 12v1(1)´>,..., 12vN1(1)´>. 12Вµ1(2)´>,..., 12ВµN2(2)´>- массы техчастиц, которые за время ∆t отделятся от точки М, а 12v2(2)´> ,..., 12vN2(2)´>- их абсолютные скорости в момент времениt + ∆t . Введем обозначения

Запишем количество движения этой механической системы в моменты времени t и t + ∆t. Получим:

Тогда

Учитывая, что, получим

так как

Теорему об изменении количества движения системыс учетом (3) запишем в виде

Так как при ∆t -› 0,∆m₁, и ∆m₂ также будут стремиться к нулю,то в уравнении (4) 12F´> является равнодействующей сил, приложенных к точке М .

Уравнение (4) называется обобщенным уравнением Мещерского. Обозначим

12u1´> = 12v1´>- 12v´> , 12u2´>  = 12v2´>- 12v´> , обобщенное уравнение Мещерского примет вид

Обозначим 12P1´> = 12u1dm1dt´>,  12P2´> = - 12u2dm2dt´>, и запишем обобщенное уравнение Мещерского (5) в следующейформе:

или

Сила 12P´> называется реактивной и представляет собой геометрическую сумму реактивных сил обусловленных присоединением 12P1´> и отделением 12P2´> частиц.

Уравнение Мещерского является частным случаем второго закона Ньютона:

для случая, когда масса непостоянна.

Частные случаи уравнения Мещерского[1,3]

 

1. Имеет место лишь процесс отделения масс. Тогда

и уравнения (4), (5) примут вид

 

2. Происходит лишь присоединение частиц. Тогда 12m2´> ≡ 0, 12dMdt´>= 12dm1dt´>

и обобщенное уравнение Мещерского можнопредставить в следующих формах:

Реактивные силы при этом будут

3. Абсолютные скорости частиц в момент присоединения и отделения равны нулю, т. е. 12v1´>= 12v2´>= 0 , либо, если происходит только присоединение или только отделение частиц, то соответственно 12v1´>= 0 или 12v2´>= 0. В этом случае обобщенное уравнение Мещерского принимает вид

а реактивная сила

4. Относительные скорости частиц в моменты присоединения и отделения равны нулю, т. е. 12u1´>= 12u2´>= 0, либо, если происходит только присоединение или только отделение, то соответственно 12u1´>= 0 или 12u2´>= 0.В этом случае обобщенное уравнение Мещерского имеет вид

а реактивная сила

5. Одновременно происходит присоединение и отделение частиц при равных скоростях центров масс присоединяющихся и отделяющихся частиц, т. е. 12v1´> = 12v2´>= 12v0´> (при этом 12u1´> = = 12u2´>= 12u0´>). Обобщенное уравнение Мещерского в этом случае можно представить в следующих формах:

а реактивная сила

6. Пусть масса присоединившихся частиц за любой промежуток времени равна массе отделившихся частиц. В этом случае 12m1´> = 12m2´>, M =const и обобщенное уравнение Мещерского примет одну из следующих форм:

или

 

Реактивные силы при этом определяются выражениями

Некоторые классические задачи динамики точки переменной массы

Задача Кейли (о движении опускающейся тяжелой цепи)[2]

Пусть с горизонтальной подставки опускается вниз тяжелаяцепь, элементы которой непрерывно присоединяются к движущейся части цепи. Оставшаяся часть цепи находится в состояниипокоя у края подставки. Предполагая, что цепь движется по вертикальной прямой, исследовать процесс падения цепи с подставки, пренебрегая силами сопротивления.

Пусть х - длина, а m -масса свешивающейся и движущейся части цепи. Эта масса непрерывно увеличивается за счет присоединения элементов dm части цепи, лежащей на подставке. При этом скорость присоединяющихсяэлементов возрастает в момент присоединения от нуля до скорости движущейся части. Таким образом, при решении данной задачи можно воспользоваться уравнением

Обозначим через γ вес единицы длины цепи. Тогдаm = γx/g, v = 12x´>и уравнение (6) будет иметь вид

Так как 12dfdt´> = 12dfdxdxdt´> = 12xdfdx´>,то уравнение (7) можно представить следующим образом:

Умножив уравнение (8) на х, запишем полученное уравнение в виде

Проинтегрировав получим:

Начальные условия выбираем следующие:

Из формул (9) и (10) находим С= 0.Получим

Продифференцировав (11) по t, найдем

Интегрируя уравнение (12) с начальными условиями (10) окончательно получаем

Решение (13) не является единственным: начальным условиям (10) и дифференциальному уравнению (7) можно удовлетворить, полагая x ≡ 0. Если считать, что в момент t= 0 точка А не имеет ускорения (см. рис. 1), то цепь будет оставаться в покое; если же точка А имеет ускорение (с подставки свешивается бесконечно малый элемент цепи), то цепь придет в движение.

Первая задача Циолковского (о движении ракеты вне силового поля)[2,4]

Пусть точка движется в безвоздушном пространстве вне силового поля, причем имеет место лишь один процесс отделения частиц. Движение такой точки моделирует движение ракеты вкосмическом пространстве, если пренебречь внутренним движением частиц, силами сопротивления космической среды, гравитационным притяжением, силами светового давления и т. п.

            Тогда 12F´> = 0 и из частного случая уравнения Мещерского, в котором имеет место лишь процесс отделения масс, получим векторное уравнение движения ракеты

 

где  относительная скорость отделения продуктов сгорания топлива.

Полагая, что постоянна по величине и направлена противоположно скорости 12v´> ракеты, найдем скорость и закон движения ракеты.

Направим ось Ох вдоль вектора скорости  ракеты (рис. 2). В проекции на ось Ох уравнение (14) с учетом, что

Разделяя в (15) переменные и интегрируя, находим где 12v0´>- начальная скорость ракеты; 12M0´>- масса ракеты в начальный момент времени.

Так как масса корпуса ракеты со всем оборудованием и полезным грузом; 12MС‚´>- масса топлива в начальный момент времени, из формулы (16) легко найти предельную скорость, которую получит ракета, когда будет израсходовано все топливо:

Выражение (17) это известная формула К. Э. Циолковского, опубликованная в его работе 1903 г. Из нее следует, что предельная скорость 12vРє´> ракеты зависит только от относительного запаса топлива и относительной скорости истечения продуктов его сгорания.От закона изменения массы ракеты (режима работы двигателя) предельная скорость ракеты не зависит.Если задано отношение 12MС‚MРє´>  = Z где Z - число Циолковского, то предельная скорость 12vРє= v0´>  + 12urln(1+Z)´> будет вполне определенной независимо от того, быстро или медленно происходило сгорание топлива.

Путь, пройденный ракетой на активном участке траектории (соответствующий этапу сгорания топлива), зависит от закона сгорания топлива.Полагая приt = 0 x = 0, из уравнения (16) получаем

В теоретических работах по ракетодинамике обычно рассматривают два закона изменения массы: экспоненциальный

где β = const, и линейный

где  = const ˃ 0; α = const ˃ 0.

Из формул (21.25), (21.26) найдем время Т сгорания топлива.

Для экспоненциального закона имеем

для линейного -

Интегрируя (18) при экспоненциальном законе изменения массы (19), получаем закон движения ракеты

Если же сгорание топлива происходит по линейному закону то, согласно (18) и (20),

Отметим, что при линейном законе изменения массы (20) ее расход

и реактивная сила

При экспоненциальном законе изменения массы (19) расход массы и реактивная сила переменны (изменяются по экспоненте), но ускорение, вызванное действием на ракету одной лишь реактивной силы, постоянно, т. е.

Библиографический список

1. И.В.Мещерский, Работы по механике тел переменной массы,M., 1952.
2. К.С.Колесников, Н.А.Алфутов, О.С.Нарайкин, Курс теоретической механики,M., 2005.
3. Михайлов Г. К., К истории динамики систем переменного состава и теории реактивного движения, M.,1974.
4. Иванов Ю. H., Токарев В. В., Механика космического полета, M., 1975.
5. А. В. Гохман, "Геометрия динамики точки переменной массы", Изв. вузов. Матем., 1969, № 4, 17-21
6. http://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Мещерского
7. Вклад а. а. космодемьянского в развитие аэромеханики и механики тел переменной массы, http://www.readings.gmik.ru/lecture/2009-VKLAD-A-A-KOSMODEMYANSKOGO-V-RAZVITIE-AEROMEHANIKI-I-MEHANIKI-TEL-PEREMENNOY-MASSI

Код для цитирования: Скопировать